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Les nouvelles méthodes de points intérieurs jouent aujourd'hui un rôle de plus en plus important dans l'optimisation des systèmes de grande taille. Dans cette thèse nous étudions dans une première partie, du point de vue théorique et numérique, une extension d'un algorithme de points intérieurs pour la programmation quadratique convexe et non convexe. Celle-ci utilise l'idée de la région de confiance que l'on peut expliciter grâce à une transformation affine. Sous certaines hypothèses nous démontrons des résultats sur la convergence globale et sur la vitesse de convergence de l'algorithme. Nous donnons aussi une version pratique de cet algorithme, basée sur une généralisation de la méthode de Lanczos pour la résolution des systèmes linéaires indéfinis. Celle-ci donne dans la pratique des résultats très encourageants. Dans la seconde partie, nous étudions du point de vue théorique une extension d'un autre algorithme de points intérieurs pour l'optimisation non linéaire avec contraintes linéaires. Cette extension utilise l'idée de la réduction d'une fonction potentiel après une transformation affine de l'ensemble admissible. Des résultats sur la convergence globale et sur la complexité de l'algorithme sont donnés.
Ce travail se scinde principalement en deux grandes composantes ; l'une de type théorique et l'autre de type numérique. Dans la partie théorique, on se place dans le cadre de l'optimisation non linéaire avec contraintes. La globalisation d'un algorithme de points intérieurs par des régions de confiance est examinée et l'on détaille ses propriétés de convergence, étayées par des expérimentations numériques sur des problèmes de programmation quadratique. Sous des hypothèses du premier et second ordre, les propriétés de convergence locale, asymptotique, d'une classe d'algorithmes de points intérieurs, parmi laquelle l'algorithme précédent, sont étudiées et l'on montre que l'on peut obtenir une convergence sous-quadratique qui a lieu en composantes. Les résultats sont généralisés à un taux de convergence arbitrairement élevé, au prix de la résolution d'un nombre suffisamment élevé de systèmes de Newton pour chaque valeur du paramètre barrière. Ces résultats asymptotiques supposent que la condition de qualification des contraintes d'indépendance des gradients actifs est satisfaite. Il s'avère que la condition de qualification des contraintes peut être relachée en la condition de Mangasarian et Fromowitz, tout en conservant les propriétés de convergence importantes. Les techniques utilisées et les résultats de convergence asymptotique en les composantes sont enfin généralisés à la résolution de systèmes d'équations non linéaires de rang plein. Dans la composante numérique, on examine ensuite l'environnement CUTE et l'on décrit les nouvelles fonctionnalités et les apports de CUTEr.
Analyse: L'optimisation offre un cadre mathématique permettant d'interpréter et de résoudre un grand nombre de problèmes de gestion, d'économie, de mathématique et de physique.
International journal devoted to pure and applied research on the use of scientific methods and information processing in business and industry. Articles may be in English or French.
Optimisation en sciences de l’ingénieur présente les principales méthodes exactes d’optimisation statique et dynamique. Parmi les méthodes décrites, figurent : la programmation linéaire avec plusieurs implémentations et la programmation non linéaire, particulièrement détaillée compte tenu de la grande variété d’algorithmes existants ; la programmation dynamique avec divers exemples d’application ; les réseaux de Hopfield ; l’optimisation en identification des systèmes ; l’optimisation des systèmes dynamiques avec notamment l’application à la commande des processus, l’optimisation des systèmes de grandes dimensions et des systèmes d’information. Didactique, cet ouvrage propose des références permettant au lecteur d’approfondir les diverses méthodes traitées. Lorsque les algorithmes étudiés le permettent, sans trop agrandir les présentations, des exemples d’implémentation sont proposés.
Ce travail décrit NLPHOPDM, un nouvel algorithme pour l'optimisation convexe différentiable. Par rapport aux méthodes intérieures classiques, il raffine les correcteurs multiples de centralité et perturbe les contraintes d'admissibilité dans la méthode de Newton. Son efficacité est évaluée sur des problèmes économiques et d'ingéniérie où la minimisation d'une fonction sous contraintes (surplus, énergie potentielle) caractérise un équilibre. Concernant les conséquences du protocole de Kyoto sur le marché énergétique, qui sont modélisées par un problème non linéaire de plusieurs milliers de variables, NLPHOPDM calcule un équilibre entre 2 et 400 fois plus rapidement que les algorithmes de référence. Concernant la déformation d'un milieu continu élastique soumis à des forces externes, dont la discrétisation en éléments finis conduit à des problèmes avec plusieurs dizaines de milliers de contraintes quadratiques, NLPHOPDM trouve un design optimal en 2 à 15 fois moins d'itérations que les méthodes intérieures de référence pour les problèmes considérés.
Cet ouvrage didactique dresse un panorama complet de la Recherche Opérationnelle. Ce tome 1 aborde les principales méthodes d’optimisation. Conçu comme un cours, avec illustrations, exercices résolus et applications, il s’adresse aux étudiants de licence et de mastère des établissements supérieurs, universités et grandes écoles : ingénieurs civils, ingénieurs de gestion, mathématiciens, informaticiens, économistes.
Admittedly engineers simply continue to calculate the projects they are given by architects, but engineers also draw or redraw, gauge aesthetics and reinvent the production of the form. Is it the architect or the engineer who designs the structure, lays its foundations and establishes the intentionality of the project?
L'optimisation regroupe les techniques qui permettent de chercher les minima ou les maxima de fonctions ou de fonctionnelles; elle intervient dans presque tous les processus de modélisation actuels. Cet ouvrage présente une introduction à la théorie du contrôle optimal des équations différentielles ordinaires ainsi que les fondements de l'optimisation en dimension finie et les algorithmes de base. Une première partie évoque l'optimisation en dimension finie en abordant les notions de convexité, de minimisation sans contraintes et avec contraintes et les principales méthodes de résolution numérique. En seconde partie, les résultats obtenus sont appliqués au contrôle optimal des systèmes différentiels linéaires ; quelques notions de calcul différentiel y sont également rappelées. Des exemples, figures explicatives et de nombreux exercices, dont la plupart sont corrigés, enrichissent ce cours qui comporte toutes les notions utiles aux étudiants de deuxième cycle universitaire et aux élèves ingénieurs.