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Las (mal llamadas) clases de problemas constituyen una herramienta fundamental en cualquier disciplina científica. Tradicionalmente, estas clases cumplen el objetivo de complementar aspectos más o menos difíciles de la disciplina en cuestión. Sin embargo, deberían entenderse más como un entrenamiento que capacite al estudiante para resolver cualquier problema (en sentido amplio) que se le pueda plantear en su vida profesional. Con este espíritu se concibe esta colección de “Problemas resueltos” que Ediciones Paraninfo pone a disposición de profesores y estudiantes de una gran variedad de disciplinas académicas. El presente libro no es una mera guía para aprender a resolver ecuaciones diferenciales de manera mecánica. Se proporcionan los fundamentos básicos de análisis matemático y topología para poder comprender los conceptos y demostraciones de los teoremas más vinculados a esta rama de las matemáticas y, además, se incluye un estudio detallado sobre los tipos clásicos y elementales de ecuaciones diferenciales ordinarias y sus correspondientes métodos de integración. No obstante, la obra va más allá y proporciona técnicas detalladas sobre cómo abordar problemas cuando las ecuaciones objeto de estudio no pueden resolverse, esto es, ofrece un estudio cualitativo de la teoría. Con este fin, resultados como los teoremas de Cauchy-Lipschitz, Peano, Kneser, Kamke, Hartman-Grobman, Poincaré-Bendixson, Lyapunov (entre muchos otros) son presentados con las correspondientes rigurosas demostraciones, ejemplos ilustrativos y más de un centenar de problemas resueltos en detalle para, así, hacer la materia más accesible al estudiante. Este libro será de utilidad tanto para estudios de grado en matemáticas puras, como de física o ingeniería, dado su alto contenido práctico y aplicado, a la vez que teórico y riguroso.
Ya en su 3a edición, este libro ofrece a docentes y estudiantes de escuelas técnicas un curso básico de ecuaciones diferenciales ordinarias con problemas resueltos a nivel universitario. La combinación de disciplinas de sus autores, un Ingeniero Industrial ICAI y una Doctora en Matemáticas, supone un óptimo equilibrio entre la teoría matemática de las ecuaciones diferenciales ordinarias y los sistemas de ecuaciones diferenciales con la aplicación práctica de los mismos, apareciendo de esta manera en el libro un enfoque multidisciplinar que hace más atractiva la presentación de estos conceptos matemáticos. Sin menoscabo del rigor que lleva consigo la exposición matemática, la claridad ha sido el punto clave a la hora de redactar los distintos capítulos que conforman este libro. De hecho, la selección de problemas resueltos se ha realizado de forma que garantice la comprensión total de la materia por parte de aquellos alumnos que se enfrenten por primera vez a estos temas. Estos ejercicios, de muy variados tipos, han sido elegidos en su mayoría entre exámenes propuestos en diversos centros universitarios. Todos los capítulos siguen un esquema definido. Empiezan con una exposición teórica, en la que se describen de un modo claro, sencillo y exhaustivo los principales conceptos relacionados con el capítulo. Para una mejor comprensión de la teoría, posteriormente se incluyen numerosos ejemplos, notas y observaciones. Continúan con una selección de problemas resueltos, de diversos grados de dificultad, y que aplican los conceptos teóricos expuestos en la primera parte. Y, por último, cada capítulo concluye con una serie de problemas propuestos, de dificultad similar a los resueltos, con la intención de que el alumno pueda comprobar si ha asimilado adecuadamente los distintos conceptos expuestos en cada capítulo.
La resolución de un problema real, aunque idealizado, de la física, la química y las ingenierías en general, se puede dividir en tres etapas: Formulación de un modelo matemático adecuado del problema real, resolución del problema matemático definido por el modelo y aplicación de la solución matemática a la solución del problema real. Consecuentemente, para que las matemáticas sean realmente útiles su enseñanza debe abarcar estas tres etapas. Éste ha sido el principio que ha guiado la elaboración del libro en el que las definiciones y los teoremas, rigurosamente enunciados, vienen seguidos de problemas completamente resueltos, en su mayoría pertenecientes a las ciencias aplicadas, pero incluyendo también un cierto número de problemas de la matemática pura cuando éstos sirven para llegar a una mejor comprensión de los conceptos matemáticos involucrados en la segunda etapa.
El libro está destinado a los estudiantes de enseñanzas técnicas que se enfrentan por primera vez con las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si algo caracteriza esta materia es la gran diversidad e importancia de sus aplicaciones, y es en el planteamiento y resolución de problemas concretos, inspirados en gran medida en modelos físicos, donde se puede encontrar la motivación necesaria para su estudio y percibir su utilidad. Este texto está dedicado al planteamiento y resolución detallada de problemas. El proceso de modelado, la resolución y la interpretación de las soluciones se realizan de modo ordenado y sistemático. Cada capítulo contiene: (a) una breve introducción teórica, en la que se exponen las definiciones fundamentales, así como los métodos de resolución que se utilizarán posteriormente y (b) una amplia colección de ejercicios y problemas en orden creciente de dificultad, totalmente re-sueltos.
Hoy día, los jóvenes universitarios requieren de manera indispensable desarrollar diferentes competencias y habilidades para enfrentar el mundo profesional al que están próximos a incorporarse, por esta importante razón los autores de Ecuaciones Diferenciales. Una nueva visión, desarrollan una propuesta a lo largo de todo el texto, a través de la cual los alumnos adquieren las herramientas y competencias necesarias para entender y aplicar las ecuaciones diferenciales en diferentes ramas de la ingeniería.Para el logro de los objetivos planteados, los autores dividen de manera estratégica la obra en nueve capítulos y dos apéndices: Introducción a las ecuaciones diferenciales.Solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Ecuaciones diferenciales de orden superior.Modelado y aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior.Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.Solución de ecuaciones con series de potencias.Solución de ecuaciones con transformada de Laplace.Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinariasFunciones ortogonales y series de FourierApéndice A. Conceptos básicos y formulario.Apéndice B. Matrices y determinantes. A lo largo de cada capítulo de Ecuaciones Diferenciales. Una nueva visión, el lector también tiene acceso a una serie de problemas resueltos con detalle, que le permiten observar, paso a paso, la forma correcta de resolverlos, además de una serie de actividades y problemas, de los cuales algunos él puede resolver de forma individual o en equipo, con lo que se pretende que el alumno desarrolle diferentes competencias transversales que le serán de utilidad en un futuro.
Este libro ofrece al lector un acceso sencillo al conocimiento de las ecuaciones diferenciales mediante el procedimiento más práctico, que es la resolución de problemas. Los contenidos del mismo son los correspondientes a los estudios de grado de Ingeniera en la Escuela Técnica de Ingenieros Industriales de la UNED. El sistema metodológico empleado es mixto. Consiste en una introducción teórica en cada capítulo para, posteriormente, resolver, de forma secuencial, los ejercicios correspondientes a cada uno de esos contenidos teóricos. Este método supone una forma de proceder muy adecuada en la enseñanza a distancia, ya que ambos componentes combinados marcan, al mismo tiempo que se sedimentan conceptos, una secuencia lógica de adquisición y comprensión de los mismos.
La tesis consta de cinco capítulos y está dividida en dos partes muy diferenciadas. La primera dedicada tanto al uso del llamado Método del Balance Armónico (MBA) como a su fundamentación teórica. La segunda se ocupa del estudio cuantitativo y cualitativo de dos familias de ecuaciones diferenciales polinomiales en el plano. El MBA proporciona una manera de obtener aproximaciones de las soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales, así como su periodo. En los Capítulos 1 y 2 utilizamos el MBA para encontrar aproximaciones de la función de periodo de ciertas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. La principal contribución de la tesis en este tema ha sido el estudio analítico paralelo de la función de periodo y la constatación de que las aproximaciones obtenidas vía el MBH recogen varias de las propiedades, tanto locales como globales, de esta función. En el Capítulo 3 se demuestra que cerca de ciertas aproximaciones obtenidas usando el MBH hay soluciones periódicas reales de la ecuación diferencial estudiada. Para obtener nuestros resultados nos basamos en resultados clásicos de Urabe (1965) y Stokes (1972). En la segunda parte del trabajo se abordan problemas cuantitativos, dentro de la llamada Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales. Más concretamente, en ambos capítulos se determinan analíticamente cotas inferiores y superiores de los valores de bifurcación de dos familias 1-paramétricas de ecuaciones diferenciales polinomiales. La diferencia principal entre las familias estudiadas en el Capítulo 4 y en el Capítulo 5 es que la primera es lo que se denomina una familia rotatoria, lo que implica que las bifurcaciones estén más controladas, mientras que la segunda no lo es, y entonces el problema se torna más complicado. Para encontrar las cotas comentadas en el párrafo anterior se introduce un método para la construcción efectiva de curvas algebraicas sin contacto por el flujo de la ecuación diferencial. Estas curvas son buenas aproximaciones de las separatrices, tanto de los puntos críticos al infinito cómo de los finitos. La comprobación de que estas curvas son sin contacto pasa por el control del signo de familias 1-paramétricas de polinomios. Para resolver esta cuestión se introduce en la tesis el concepto de doble discriminante. Además, el control del número de ciclos límite de las ecuaciones diferenciales se realiza utilizando el criterio generalizado de Bendixson-Dulac. El paso final para ver que este criterio se puede aplicar pasa también por el control del signo de un determinado polinomio y de nuevo el doble discriminante tiene un papel relevante. Los métodos desarrollados en estos dos capítulos permiten calcular aproximaciones algebraicas de las separatrices de los puntos críticos de ecuaciones diferenciales en el plano, así como determinar cotas de los valores de los parámetros que hay en las familias de ecuaciones diferenciales para que estas tengan conexiones homoclínicas o heteroclínicas.
Este texto está centrado en la resolución de gran cantidad de ejercicios de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. Una de las técnicas más extendidas para su resolución es la transformada de Laplace, presentada en un capítulo independiente. Un simple vistazo por el índice de materias permite apreciar el amplio recorrido que se realiza a lo largo del texto por los principales tipos de ecuaciones diferenciales, así como por los métodos más extendidos necesarios para su resolución. Cada capítulo posee un resumen teórico con los contenidos necesarios para que su lectura y seguimiento no requiera, en principio, la consulta de otro texto de teoría. No obstante, se recomienda enérgicamente la consulta de textos teóricos clásicos que existen sobre la materia. En la mayoría de los casos, el nivel de los ejercicios resueltos es similar al de los problemas que se enuncian en los exámenes, no en vano muchos de los enunciados provienen de los que se han realizado en los últimos años en la universidad de Málaga. Cada capítulo finaliza con una importante cantidad de ejercicios propuestos cuya resolución completa y afianza el aprendizaje.