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Cet ouvrage est un cours d'introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires, accompagné d'un exposé détaillé de différentes méthodes numériques permettant de les résoudre en pratique. La première partie présente quelques techniques importantes de l'analyse numérique : interpolation polynomiale, méthodes d'intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d'équations. Suit un exposé rigoureux des résultats de base sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, incluant une étude détaillée des équations usuelles du premier et du second ordre, des équations et systèmes différentiels linéaires, de la stabilité des solutions et leur dépendance par rapport aux paramètres. Une place substantielle est accordée à la description des méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec une étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. Agrémenté de nombreux exemples concrets, le texte propose des exercices et des problèmes d'application à la fin de chaque chapitre. Cette troisième édition a été enrichie de nouveaux exemples et exercices et de compléments théoriques et pratiques : comportement des suites itératives, théorème des fonctions implicites et ses conséquences géométriques, critère de maximalité des solutions d'équations différentielles, calcul des géodésiques d'une surface, flots de champ de vecteurs... Cet ouvrage est surtout destiné aux étudiants (licence (L3), masters scientifiques, écoles d'ingénieurs, agrégatifs de mathématiques). Les enseignants, professionnels (physiciens, mécaniciens...) l'utiliseront comme outil de base.
LA PREMIERE PARTIE EST CONSACREE A L'ETUDE DE L'INTEGRATION DIRECTE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES |M|X"+|C|K+|K|X=F. NOUS PRESENTONS TOUT D'ABORD TROIS SCHEMAS DE REFERENCE DU TYPE ELEMENTS FINIS AINSI QUE LEURS CONDITIONS DE STABILITE. EN INTRODUISANT LES NOTIONS DE PULSATION APPROCHEE ET COEFFICIENT DE DECROISSANCE APPROCHE, NOUS AVONS MONTRE QUE LES ERREURS DE TRONCATURE SONT MINIMISEES EN CHOISISSANT =1/2 POUR LE SCHEMA A DEUX POINTS DE ZIENKIEWICZ ET EN CHOISISSANT ==1/2 POUR LE SCHEMA DE L'ECOLE BELGE. NOUS AVONS ETABLI UNE CONDITION DE STABILITE POUR LE SCHEMA A DEUX POINTS DE ZIENKIEWICZ LORS DE SON APPLICATION EN MECANIQUE DE VIBRATIONS. EN ANALYSANT LE COMPORTEMENT MAL REPRESENTE DES HAUTES FREQUENTES, NOUS AVONS DECOUVERT UNE SOURCE DE "BRUIT NUMERIQUE QUI COMPROMET LA PRECISION DES RESULTATS FINAUX. LA SECONDE PARTIE EST RELATIVE A L'ETUDE DE LA METHODE DE CONDENSATION DYNAMIQUE DES MODES LIBRES. NOUS COMMENCONS PAR RAPPELER LA VERSION CLASSIQUE DE CETTE METHODE APPELEE "ALGORITHME D'APPROXIMATION DU PREMIER ORDRE. AFIN D'AMELIORER LA PRECISION DE CETTE METHODE, NOUS AVONS ETABLI UN ALGOTITHME D'APPROXIMATION DU SECOND ORDRE. POUR EVITER L'INVERSION DE LA MATRICE RESIDUELLE |C| MAL CONDITIONNEE, NOUS AVONS PROPOSE UNE TECHNIQUE DU DECALAGE DES FREQUENCES GARDEES, CE QUI CONDUIT A UNE NOUVELLE MATRICE RESIDUELLE |E| BIEN CONDITIONNEE
LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS SA FORME STANDARD PROCEDE PAR DEUX DISCRETISATIONS INDEPENDANTES : LA DISCRETISATION SPATIALE ET LA DISCRETISATION TEMPORELLE. CES DISCRETISATIONS OCCASIONNENT DES INSTABILITES CAUSEES PAR L'EXISTENCE DE RACINES PARASITES EN HAUTES FREQUENCES. LA RECHERCHE DU GAIN D'ESPACE MEMOIRE ET DE TEMPS POUSSE A L'UTILISATION DES METHODES D'INTEGRATION DIRECTE DU TYPE EXPLICITE POUR LA RESOLUTION DES PROBLEMES DE DYNAMIQUE DES STRUCTURES. CETTE UTILISATION PASSE PAR L'INTRODUCTION D'UNE DOSE D'AMORTISSEMENT NUMERIQUE. SEULEMENT, SI ON VEUT CONSERVER LE TRADITIONNEL ET EXPERIMENTAL SECOND ORDRE DE CONSISTANCE D'UN ALGORITHME EXPLICITE, L'AMORTISSEMENT NUMERIQUE PROVOQUE DES ERREURS EN BASSES FREQUENCES, ERREURS DUES A L'EXISTENCE D'UNE RACINE PARASITE NON NULLE. DANS NOTRE TRAVAIL, NOUS AVONS OPTE POUR UNE AUTRE PHILOSOPHIE DE CONCEPTION DE L'ALGORITHME EXPLICITE QUI CONSISTE A PRIVILEGIER LA PRECISION ET LA LISIBILITE DE LA SOLUTION NUMERIQUE AU DETRIMENT DE SON ORDRE DE CONSISTANCE. NOUS IMPOSONS LA NULLITE DE LA RACINE PARASITE ; CECI NOUS CONDUIT A PROPOSER UNE METHODE EXPLICITE A PAS UNIQUE, TRES PRECISE, DE CONSISTANCE DU PREMIER ORDRE ET POSSEDANT DE TRES BONNES CARACTERISTIQUES SPECTRALES. IL EST VALIDE SUR DES EXEMPLES TEST STANDARDS ET UTILISE AVEC SUCCES POUR RESOUDRE DES PROBLEMES DE PLASTICITE DYNAMIQUE. LA COMPARAISON AVEC D'AUTRES ALGORITHMES TANT EXPLICITES QU'IMPLICITES MONTRE QUE LE NOUVEL ALGORITHME CONSTITUE UNE INNOVATION A LAQUELLE IL CONVIENDRAIT DE TROUVER DES APPLICATIONS INDUSTRIELLES.
This volume presents a catalogue of over 2000 doctoral theses by Africans in all fields of mathematics, including applied mathematics, mathematics education and history of mathematics. The introduction contains information about distribution by country, institutions, period, and by gender, about mathematical density, and mobility of mathematicians. Several appendices are included (female doctorate holders, doctorates in mathematics education, doctorates awarded by African universities to non-Africans, doctoral theses by non-Africans about mathematics in Africa, activities of African mathematicians at the service of their communities). Paulus Gerdes compiled the information in his capacity of Chairman of the African Mathematical Union Commission for the History of Mathematics in Africa (AMUCHMA). The book contains a preface by Mohamed Hassan, President of the African Academy of Sciences (AAS) and Executive Director of the Academy of Sciences for the Developing World (TWAS). (383 pp.)
This book reveals the French scientific contribution to the mathematical theory of nonlinear oscillations and its development. The work offers a critical examination of sources with a focus on the twentieth century, especially the period between the wars. Readers will see that, contrary to what is often written, France's role has been significant. Important contributions were made through both the work of French scholars from within diverse disciplines (mathematicians, physicists, engineers), and through the geographical crossroads that France provided to scientific communication at the time. This study includes an examination of the period before the First World War which is vital to understanding the work of the later period. By examining literature sources such as periodicals on the topic of electricity from that era, the author has unearthed a very important text by Henri Poincaré, dating from 1908. In this work Poincaré applied the concept of limit cycle (which he had introduced in 1882 through his own works) to study the stability of the oscillations of a device for radio engineering. The “discovery” of this text means that the classical perspective of the historiography of this mathematical theory must be modified. Credit was hitherto attributed to the Russian mathematician Andronov, from correspondence dating to 1929. In the newly discovered Poincaré text there appears to be a strong interaction between science and technology or, more precisely, between mathematical analysis and radio engineering. This feature is one of the main components of the process of developing the theory of nonlinear oscillations. Indeed it is a feature of many of the texts referred to in these chapters, as they trace the significant developments to which France contributed. Scholars in the fields of the history of mathematics and the history of science, and anyone with an interest in the philosophical underpinnings of science will find this a particularly engaging account of scientific discovery and scholarly communication from an era full of exciting developments.
In 1942, Lt. Herman H. Goldstine, a former mathematics professor, was stationed at the Moore School of Electrical Engineering at the University of Pennsylvania. It was there that he assisted in the creation of the ENIAC, the first electronic digital computer. The ENIAC was operational in 1945, but plans for a new computer were already underway. The principal source of ideas for the new computer was John von Neumann, who became Goldstine's chief collaborator. Together they developed EDVAC, successor to ENIAC. After World War II, at the Institute for Advanced Study, they built what was to become the prototype of the present-day computer. Herman Goldstine writes as both historian and scientist in this first examination of the development of computing machinery, from the seventeenth century through the early 1950s. His personal involvement lends a special authenticity to his narrative, as he sprinkles anecdotes and stories liberally through his text.