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CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE DU CONDITIONNEMENT DES PROBLEMES D'OPTIMISATION ET A L'ETUDE DE PLUSIEURS ALGORITHMES EN OPTIMISATION NON DIFFERENTIABLE. DANS LA PREMIERE PARTIE ON ETUDIE LE CONDITIONNEMENT DES FONCTIONS SEMI-CONTINUES INFERIEUREMENT. ON ETEND LA NOTION D'APPLICATION MULTIVOQUE SUR-LIPSCHITZ ET ON MONTRE, EN TRAVAILLANT AVEC UN SOUS DIFFERENTIEL ABSTRAIT DEFINI DE FACON AXIOMATIQUE, QUE LE CONDITIONNEMENT LOCAL D'UNE FONCTION, A PRIORI NON CONVEXE, EST ASSURE PAR LA PROPRIETE DE SUR-LIPSCHITZ DE L'INVERSE DE SON SOUS DIFFERENTIEL. DANS LE CAS CONVEXE ON OBTIENT PLUSIEURS CARACTERISATIONS PRIMALES ET DUALES DU CONDITIONNEMENT GLOBAL. ON RETROUVE AINSI CERTAINS RESULTATS DE B. LEMAIRE, DE R. ZHANG ET DE J. TRAIMAN. DANS LA SECONDE PARTIE, ON PROPOSE UNE APPROCHE PROXIMALE POUR RESOUDRE UNE FAMILLE DE PROBLEMES DE LOCALISATION DE TYPE MINIMAX. ON MONTRE QU'UNE REFORMULATION ADEQUATE DU PROBLEME PERMET DE CONSTRUIRE UN SCHEMA DE DUALITE AU SENS DE FENCHEL. ON EN DEDUIT ALORS DES CONDITIONS D'OPTIMALITE QUI PEUVENT ETRE RESOLUES PAR UN ALGORITHME PROXIMAL. CETTE APPROCHE PERMET DE RESOUDRE DES PROBLEMES FAISANT INTERVENIR DES NORMES OU JAUGES MIXTES. ELLE PERMET AUSSI DE PRENDRE EN COMPTE UNE GRANDE VARIETE DE CONTRAINTES CONVEXES ET CONDUIT A DES CALCULS QUI PEUVENT ETRE EFFECTUES EN PARALLELE. LA TROISIEME PARTIE EST CONSACREE A L'ETUDE D'UN ALGORITHME POUR TROUVER UN POINT CRITIQUE D'UNE FONCTION SEMI-CONTINUE INFERIEUVEMENT NON CONVEXE. EN UTILISANT LA MOREAU REGULARISATION AINSI QUE DES RESULTATS SUR LES FONCTIONS COMPOSITES ET SUR LA RESOLUTION DES SYSTEMES D'EQUATIONS NON DIFFERENTIABLES, ON OBTIENT UN ALGORITHME QUI CONVERGE VERS UN POINT CRITIQUE POUR DES FONCTIONS D'UN TYPE PARTICULIER, APPELEES FONCTIONS R-PROX-REGULIERES. ON MONTRE QUE, DANS CERTAINS CAS, LA CONVERGENCE EST SUPERLINEAIRE.
Une approche efficace pour la résolution de problèmes inverses consiste à définir le signal (ou l'image) recherché(e) par minimisation d'un critère pénalisé. Ce dernier s'écrit souvent sous la forme d'une somme de fonctions composées avec des opérateurs linéaires. En pratique, ces fonctions peuvent n'être ni convexes ni différentiables. De plus, les problèmes auxquels on doit faire face sont souvent de grande dimension. L'objectif de cette thèse est de concevoir de nouvelles méthodes pour résoudre de tels problèmes de minimisation, tout en accordant une attention particulière aux coûts de calculs ainsi qu'aux résultats théoriques de convergence. Une première idée pour construire des algorithmes rapides d'optimisation est d'employer une stratégie de préconditionnement, la métrique sous-jacente étant adaptée à chaque itération. Nous appliquons cette technique à l'algorithme explicite-implicite et proposons une méthode, fondée sur le principe de majoration-minimisation, afin de choisir automatiquement les matrices de préconditionnement. L'analyse de la convergence de cet algorithme repose sur l'inégalité de Kurdyka-L ojasiewicz. Une seconde stratégie consiste à découper les données traitées en différents blocs de dimension réduite. Cette approche nous permet de contrôler à la fois le nombre d'opérations s'effectuant à chaque itération de l'algorithme, ainsi que les besoins en mémoire, lors de son implémentation. Nous proposons ainsi des méthodes alternées par bloc dans les contextes de l'optimisation non convexe et convexe. Dans le cadre non convexe, une version alternée par bloc de l'algorithme explicite-implicite préconditionné est proposée. Les blocs sont alors mis à jour suivant une règle déterministe acyclique. Lorsque des hypothèses supplémentaires de convexité peuvent être faites, nous obtenons divers algorithmes proximaux primaux-duaux alternés, permettant l'usage d'une règle aléatoire arbitraire de balayage des blocs. L'analyse théorique de ces algorithmes stochastiques d'optimisation convexe se base sur la théorie des opérateurs monotones. Un élément clé permettant de résoudre des problèmes d'optimisation de grande dimension réside dans la possibilité de mettre en oeuvre en parallèle certaines étapes de calculs. Cette parallélisation est possible pour les algorithmes proximaux primaux-duaux alternés par bloc que nous proposons: les variables primales, ainsi que celles duales, peuvent être mises à jour en parallèle, de manière tout à fait flexible. A partir de ces résultats, nous déduisons de nouvelles méthodes distribuées, où les calculs sont répartis sur différents agents communiquant entre eux suivant une topologie d'hypergraphe. Finalement, nos contributions méthodologiques sont validées sur différentes applications en traitement du signal et des images. Nous nous intéressons dans un premier temps à divers problèmes d'optimisation faisant intervenir des critères non convexes, en particulier en restauration d'images lorsque l'image originale est dégradée par un bruit gaussien dépendant du signal, en démélange spectral, en reconstruction de phase en tomographie, et en déconvolution aveugle pour la reconstruction de signaux sismiques parcimonieux. Puis, dans un second temps, nous abordons des problèmes convexes intervenant dans la reconstruction de maillages 3D et dans l'optimisation de requêtes pour la gestion de bases de données.
This self-contained text provides an introduction to a wide range of representation theorems and provides a complete description of the representation theorems with direct proofs for both classes of Hardy spaces: Hardy spaces of the open unit disc and Hardy spaces of the upper half plane.
The book first rigorously develops the theory of reproducing kernel Hilbert spaces. The authors then discuss the Pick problem of finding the function of smallest $H^infty$ norm that has specified values at a finite number of points in the disk. Their viewpoint is to consider $H^infty$ as the multiplier algebra of the Hardy space and to use Hilbert space techniques to solve the problem. This approach generalizes to a wide collection of spaces. The authors then consider the interpolation problem in the space of bounded analytic functions on the bidisk and give a complete description of the solution. They then consider very general interpolation problems. The book includes developments of all the theory that is needed, including operator model theory, the Arveson extension theorem, and the hereditary functional calculus.
This book presents a compendium of methodologies for the study of membrane lipids, varying from traditional lab bench experimentation to computer simulation and theoretical models. The volume provides a comprehensive set of techniques for studying membrane lipids with a strong biophysical emphasis. It compares the various available techniques including the pros and cons as seen by the experts.
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